【有料】拓扑优化简介和工程实例

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本文由 徐冬冬 整理，江丙云 校核， 黄琳琳 排版。

本文讨论拓扑优化的背景知识，并且深入了解施加的约束条件，提高设计目标。拓扑优化本质上是一个非线性数学规划问题，标准列式可以描述成：

图1展示了一个典型的拓扑优化过程：

图1 (a) 顶部, 初始设计空间。(b) 中间初步分析。(c) 底部, 最后分析。

进行拓扑优化的前提是定义一个设计空间和网格，某些情况下，设计域是任意的2D/3D空间；另外一些情况下，会存在初始的设计域，拓扑优化首先按照正常的FEA分析流程去施加载荷以及边界条件，FEA分析会按照设计域进行，之后会根据计算结果去删除材料，再接着进行下一步计算，迭代会一直进行到收敛准则被满足，最后收敛的模型被认为是满足体积约束条件下的最有效率的结构。

一、拓扑优化方法

图2显示了拓扑优化的概念示意图。单元i是设计空间中的一个典型单元。

图2 拓扑优化示意图

对该结构进行初步的有限元分析将给出应力和位移的分布情况。拓扑优化将根据这些有限元分析的响应情况来去除材料，来提高材料的配置效率。直观的说，可以通过删除具有非常低应力水平的材料来手动完成这项工作。这种类型的方法被称为最优准则法。它基于一个启发式的想法–从工程的角度看，是一个不错的方法。这种方法的官方称谓是“满应力设计”。它易于实现和计算，并且成本比较低。但是这种方法不适用于多载荷路径。试图将结构的所有区域应力都设置成一个值并不是一个现实的目标。

最小化应变能方法也可以被称为最小化柔顺性方法，柔顺性是结构上外力施加点的位移和外力大小的乘积，最小化应变能，最大化刚度或者最小化柔顺性是3个本质相同的概念，这3个都可以作为拓扑优化当中的目标值予以考虑。

那么如何从网格当中删除材料呢？拓扑优化会调整每个单元的密度来构造新结果，这些新单元的密度不能到达0，因为这样的话会造成奇异性。往往是一个很接近0的数。这些单元的密度会在接近0的数，到1之间去变更。

调整单元的密度有2种方法：进化方法(ESO以及BESO)目标是“硬杀伤”，这代表单元要么存在，要么就是一个很接近0的密度值。相对而言，惩罚驱动方法(SIMP)被称为“软杀伤”，这种方法允许密度在区域内分布。

二、SIMP方法

       SIMP方法的全程是“solid isotropic microstructure with penalization”。MicrosStructure这个单词被包含在方法名称当中，因为早期这项工作研究的是由各种空隙和材料组成的材料体系。利用这种方法可以去定义各向异性材料，例如：泡沫和复合材料。

早前我们提到过，单元的密度是一个变化的值，从接近0到1之间。注意这个密度值是一个正则化的值，真实的密度是这个值乘以材料密度。

那么惩罚一词的起源是什么？如果一个区域能在1.0（黑色）和0.0（白色）之间形成任何的密度值，我们将会得到非常大的“灰色”材料。灰色区域对实际固体结构来说，没有任何意义。我们需要将材料的密度聚集到1.0（有材料），和0.0（无材料）之间。在SIMP方法当中，我们利用指数函数对密度值进行惩罚，来迫使非线性规划算法能够让大部分区域避免0到1之间的值。

图3 惩罚函数

三、网格依赖性

       通过实际的案例我们可以发现，拓扑优化结果具有网格依赖性。粗网格/细网格得出来的结果会相当不一样。网格越加密便会得到越不同的结果。非常细的网格会造成材料像类似“纤维”一样分布，粗网格会造成材料形成“块状”分布。为了克服网格依赖性，有3种手段：

(1)  周长控制

(2)  密度梯度控制

(3)  密度敏度过滤

周长控制

        随着网格越来越密，拓扑优化的结果会存在越来越多的孔洞。但是施加了周长控制之后，这些孔洞会得到抑制。这是一种很直观的方法。这种方法的困难在于周长没有没有物理意义，以及周长的值该如何给定。

密度梯度控制

通过密度梯度控制能够有效的控制细小部件的存在。设想如果一个区域有很多的细小杆件，孔洞存在的话则会造成密度梯度值的过高，施加了密度梯度控制之后能够有效的让材料均匀变化。

密度敏度控制

基于图像处理技术的滤波法，通过调整算法每次循环迭代中的设计敏度可以有效地避免孔洞的出现。

图4 敏度计算范围示意图

四、工程实例

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